说到函数，我们很多人都了解，有朋友问二次函数的图像，另外，还有人问二次函数图象特点应用，这到底是咋回事？实际上二次函数yax2ppt呢，小编为大家带来二次函数的图像和性质，今天就一起来看一看吧。
二次函数的图像和性质
1、二次函数的性质：
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c(a≠0)，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax2+bx+c=0(a≠0)
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
2、二次函数的图像：
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。
顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0，a、h、k为常数)。
交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)
(a≠0，a、且x1、x2为常数)x1、x2为二次函数与x轴的两交点。
等高式：y=a(x-x1)(x-x2)+m(a≠0，且过（x1、m）（x2、m）为常数)x1、x2为二次函数与直线y=m的两交点。
抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时
（即ab＜ 0 ），对称轴在y轴右。
事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的
斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
_______
Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上
虚数i，整个式子除以2a）
当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在
{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
7.特殊值的形式
①当x=1时 y=a+b+c
②当x=-1时 y=a-b+c
③当x=2时 y=4a+2b+c
④当x=-2时 y=4a-2b+c
8.定义域：R
值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，
正无穷）；②[t，正无穷）
奇偶性：偶函数
周期性：无
解析式：
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；
⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ＞0，图象与x轴交于两点：
（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；
Δ＝0，图象与x轴交于一点：
（-b/2a，0）；
Δ＜0，图象与x轴无交点；
②y=a(x-h)^2+k[顶点式]
此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a；
③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0）
对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X≥(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≤（X1+X2）/2时Y随X
的增大而减小
此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连
用）。
[编辑本段]二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1．二次函数y=ax^2;，y=a(x-h)^2;，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式 顶点坐标 对 称 轴
y=ax^2 (0，0) x=0
y=ax^2+K (0，K) x=0
y=a(x-h)^2 (h，0) x=h
y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h
y=ax^2+bx+c (-b/2a，4ac-b^2/4a) x=-b/2a
当h>0时，y=a(x-h)^2;的图象可由抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2-k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x+h)²+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x+h)²-k的图象；在向上或向下.向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。
因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2;+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2;]/4a)．
3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x₂-x₁| =√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标）
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．
5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)．
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．
7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．
参见：http://zhidao.baidu.com/question/290706009.html
二次函数图像与性质
a：
a分为两部分：符号和大小（即绝对值）
符号：正号说明开口向上，负号说明开口向下
大小：a的绝对值越大，抛物线开口越小（瘦）。a的绝对值越小，抛物线开口越大（胖）。
b：
b不能单独判断，要与a结合判断，有个口诀心法：左同右异（左右是指抛物线对称轴在x轴的左右，同异是指a、b的符号是同号还是异号）。
就是说，如果对称轴在x轴的左侧，则a、b同号；如果对称轴在x轴的右侧，则a、b异号；由于a的符号在上面已经说了，所以b也就不难判断了。值得一提的是如果对称轴是y轴，则b=0
对称轴公式：x=-b2a
c：
c表示抛物线与y轴的交点，图像过（0，c）点。如果抛物线通过原点，则c=0
二次函数的图像与性质函数值的变化
图象：抛物线；性质：抛物线是轴对称图形.对称轴为直线x = -b/2a.对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时,P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上.3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a＞0时,抛物线向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口.|a|越大,则抛物线的开口越小.4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜ 0 ）,对称轴在y轴右.事实上,b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到.5.常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于（0,c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点.Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点._______Δ= b^2-4ac＜0时,抛物线与x轴没有交点.X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a）当a>0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)7.特殊值的形式①当x=1时 y=a+b+c②当x=-1时 y=a-b+c③当x=2时 y=4a+2b+c④当x=-2时 y=4a-2b+c8.定义域：R 值域：（对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a,正无穷）；②[t,正无穷） 奇偶性：偶函数 周期性：无 解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a＞0,则抛物线开口朝上；a＜0,则抛物线开口朝下； ⑶极值点：（-b/2a,(4ac-b^2)/4a）； ⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0,图象与x轴交于两点：（[-b-√Δ]/2a,0）和（[-b+√Δ]/2a,0）； Δ＝0,图象与x轴交于一点：（-b/2a,0）； Δ＜0,图象与x轴无交点； ②y=a(x-h)^2+k[顶点式] 此时,对应极值点为（h,k）,其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a；③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0）对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X≥(X1+X2)/2时,Y随X的增大而增大,当a>0且X≤（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）.[编辑本段]二次函数与一元二次方程特别地,二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c,当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）,即ax^2+bx+c=0此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根.函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
二次函数图象的特点与性质有何区别
一次函数：物理应用
二次函数：物理应用
指数函数：细菌数随时间变化
幂函数：银行存款计复利
对数函数：实际中某种生物的数量随时间变化
注意：符合幂函数和对数函数的必须是y=a^x,y=loga(x)(a>0,a≠0)
如何根据二次函数的图像判断a，b，c的有关性质
近年，在各地的中考题中，常出现这样一类关于二次函数的题目：已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的某些信息，要求判断和系数a、b、c有关的各种命题（通常是等式或不等式）是否成立。对这类题目，特别是其中显得有些“怪异”的命题，初学者普遍感到比较困难，究其原因，主要是对二次函数的图像抛物线缺乏深入研究，不清楚抛物线与a、b、c与之间的各种关系，未能总结出解此类题目的规律性。
例1 5.(08.长沙)二次函数的图像如图所示，则下列关系式不正确的是（ ）
A.a＜0；B.abc＞0；C.a+b+c＞0；D.b2-4ac＞0.
y 解：A: ∵抛物线开口向下, ∴a<0 故A成立.
B: ∵抛物线与y轴的交点在正半轴,∴c>0 .
∵对称轴在y轴左侧(或顶点在y轴左侧),∴－ <0.
又∵a<0, ∴b<0. ∴abc>0. 故B成立。
-1 0 1 C: 由点（1,0）在抛物线上对应点的上方知，当x=1时，y<0,
即a+b+c<0.故C不成立。
D: ∵抛物线与x轴有两个交点（或顶点在x轴上方）
∴b2-4ac>0. 故D成立。
综上，应选（C）
由此题可以看出，解这类题目的关键，在于对题目中给出的图像抛物线的五个方面的观察和探讨：一.开口方向；二．抛物线与y轴的交点；三．顶点的位置；四．对称轴x=－ 的位置；五．抛物线与x轴的交点。只要我们熟知了这五个方面与a、b、c 的各种关系和规律，则绝大多数题目的解决就会变得容易起来。
对此，我们可作相关总结如下：
一．开口方向：判断a的符号。
若开口向上，则a﹥0；若开口向下，则a﹤0.
二．抛物线与y轴的交点：判断c的符号
若交点在y轴的正半轴，则c﹥0；若交点在轴的负半轴，则c﹤0；若交点恰为原点，则c=0。
三．顶点的位置
1.顶点横坐标－ 的作用：根据顶点与y轴的左右关系，判明横坐标的符号，再结合a的符号，即可判明b的符号。（利用对称轴亦有此效，见后四。1）
2.顶点纵坐标(4ac－b2)／4a 的作用：根据顶点与x轴的上下关系，判明纵坐标的符号，再结合a的符号，即可判明b2－4ac的符号。（利用抛物线与x轴的交点个数，亦有此效）
四．对称轴x=－ 的位置
1．判断b的符号：根据对称轴与y轴的左右关系，判明整个－ 的符号，再结合a的符号，即可判明b的符号。
2．若对称轴已知为x=k,则－ =k,即得出a、b之间的一个等量关系。
3．若对称轴已知为x=k>m，则－ >m,结合a的符号，可得出a、b之间的一个不等关系（如大小关系）。
五．抛物线与x轴的交点：从ax2+bx+c的结构特点入手判断有关命题
注意二次函数式ax2+bx+c的结构有如下特点：
当x=±3时，ax2+bx+c=9a±3b+c ①
当x=±2时，ax2+bx+c=4a±2b+c ②
当 x=±1时，ax2+bx+c=a±b+c ③
当x=±m时，ax2+bx+c=am2±bm+c ④
设抛物线与x轴的交点为A，B，根据x轴上的点（±3,0）,（±2,0）,（±1,0）,(±m,0)等与点A，B的位置关系，即可判断出和上述①②③④四个式子（或其变式）有关的若干命题是否成立。
例2.（2007•天津）已知二次函数y=ax²+bx+c (a≠0)的图像如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b>m(am+b) (m为≠1的实数)。
其中正确的结论有 （ ）
A.2个； B.3个. C.个. D.5个.
y 解：①：不成立。理由略。
X=1 ②：由点（-1,0）在抛物线上对应点的上方知，当x= -1
时，y<0,即a-b+c<0,故b>a+c.故②不成立。
③由对称性知点（2，0）在对应的抛物线上的点的下方，
所以，当x=2时，y>0,即4a+2b+c>0.故③成立。
-1 0 x ④由对称轴为x=1知，－ =1，∴a=- b,代入前面的
a-b+c<0即得2c＜3b。故④成立。
⑤由顶点是最高点知，当x=1时的y值 > 当x=m(≠1)时的y值，即a+b+c>am2+bm+c,故a+b>m（am+b）(m≠1) .
故⑤成立。
综上，应选B.
对于某些较难判断的题目，仅有以上五点总结还不很够，为此，下面再补充一点。
六．以方程组或不等式组的思想为指导，运用相关技巧判断一些较难命题是否成立。
1．若对称轴为x=k,则－ =k,再将其带入题中得到的相关式子，即可判断出a、c或b、c之间的一些关系。
2．若抛物线与x轴的交点为（k,0），则ak2 +bk+c=0, 再将其带入题中得到的相关式子，即可判断出a、b、c之间的一些关系。
3.若抛物线与x轴的交点为（k1，0）和（k2，0），则ak12+bk1+c=0，ak22+bk2+c=0，将两式配合变形即可得出a、b、c之间的一些关系。
例3．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图x轴交于点（-3,0）,(x1,0),且2＜x1＜3,又与y轴的正半轴的交点在点（0，2）的上方，下列有四个结论：
①a＞b＞0；②6a+c＞0；③9a+c＜0；④9a+3b+2＞0.
其中正确的结论是_______（将你认为正确的结论都填上）
解：① 不成立。理由略。
Y ② 由交点（-3,0）得9a -3b+c=0 (1)
由点（2,0）得4a+2b+c>0 (2)
从（1）、（2）中消去b得30a+5c>0 ∴6a+c>0
2 故②成立。
X1 ③ 由点（3,0）得9a+3b+c<0 (3)
-3 0 2 3 x 从（1）、（3）中消去b得18a+2c<0 ∴9a+c<0
故③成立。
④ ∵图像与轴正半轴的交点在（0,2）的上方
∴c>2
∴由（3）可得9a+3b+2<9a+3b+c<0
故（4）不成立。
综上，正确的结论是②、③。
例4．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点（-2,0）、（x1,0）,1＜x1＜2,与y轴的正半轴的交点在点（0,2）的下方。下列结论
①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c＜0；④2a-b+1＞0；⑤b2-2ac＞5a2.
正确结论的个数是（ ）
A.2个； B.3个； C.4个； D.5个。
解：① 依题意，根据抛物线的对称性可知，对称轴应在y轴和
Y 直线y= — 之间，所以— <- <0,又∵a<0,∴b<0且a
2 故①成立。
② 由交点（-2,0）得4a-2b+c=0 (1),∴c=2b-4
-2 0 1 x1 2 x ∴2a+c=2a+(2b-4a)=2（b-a）>0. 故②成立。
③ 由（1）得4a+c=2b<0,故③成立。
④ 由（1）得2a-b=- , ∴2a-b+1= >0.故④成立。
⑤ 由（1）得 b= ,∴b2-2ac=( )2-2ac=
(16a2+8ac+c2)∕4 -2ac =4a2+ c2。由②得c>-2a,
∴c2>4a2,所以b2-2ac>4a2+a2> 5a2. 故⑤成立。
注：例3中判断（2）、（3）的方法可用来判断例4中的（2）、（3），反之亦然。总的来说，例3、例4的判断方法各有其特点，但两相比较，可能例4的方法学生更容易把握一些。
巩固练习
1.(08.巴中)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则下列说法不正
y 确的是（ ）
A.b2-4ac＞0；B.a＞0；C.c＞0； D.- ﹤0.
答案：D
0 x
2。（2007，南充）.如图是二次函数y=ax2+bx+c图像的一部分，图像过点A(-3,0),
y 对称轴为x=-1.给出四个结论：
①b2＞4ac； ②2a+b=0； ③a-b+c=0； ④5a＜b.
其中正确的结论是（ ）
-3 0 1 x A.②④；B.①④；C.②③；D.①③.
答案：B
3.（2009，包头）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点（-2,0），
y （x1,0）,且1＜x1＜2,与y轴的交点在点（0,2）的 下
方，下列结论：
2 ①4a-2b+c=0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④a-b+1＞0.
其中正确结论的个数是_____个。
-2 0 1x1 2 x
答案：4.
二次函数的图像和性质是初中数学吗
是的，初中会学到些简单的二次函数图像与性质。
二次函数y=ax^2的图象和性质.
(1)其图象是（抛物线），顶点坐标是（0，0），对称轴是（x=0）.
（2）当a>0时，开口向（上），且当x>0时，y随x的增大而（增大）；当x<0时，y随x的增大而（减小）；有最（小）值，为0.
（3）当a<0时，开口向（下），且当x>0时，y随x的增大而（减小）；当x<0时，y随x的增大而(增大)；有最（大）值，为0.
如何教授二次函数的图像与性质的教学
初中数学学习口诀: 有理数的加法运算：同号相加一边倒；异号相加"大"减"小"，符号跟着大的跑；绝对值相等"零"正好。[注]"大"减"小"是指绝对值的大校 合并同类项：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。
高一数学二次函数的图像和性质--对称性的问题
你得弄个具体的题目来，别人才知道怎么帮你。
比如,已知f(x)=2x²+bx+4是偶函数,求b的值。
可以根据偶函数定义，
有f(x)=f(-x),不妨考虑f(1)=f(-1),
则有2+b+4=2-b+4,
所以b=0
