图形的放大与缩小 感悟函数思想结构化学习策略研究 ——以“图形的放大与缩小”教学为例

张景中先生曾提出：“小学生学的数学很初等，很简单。尽管简单，里面却蕴含了一些深刻的数学思想。最重要的，首推函数的思想。”[1]儿童学习数学是从认数开始的，物与数一一对应，学习之始就已渗透了函数思想，学习比例则标志着初步认识函数的开始。小学数学从始至终，都在渗透函数思想，所以张老“首推函数思想”。中学数学是以函数学习为中心，小学阶段函数是以怎样的形式存在？是如何分解、分散于各个部分知识学习之中？教学中如何结合相关内容进行相机渗透，使学生体会到函数思想的本质？下面以苏教版教材“图形的放大与缩小”教学为例，谈谈在教学中感悟函数思想的且行且思。

函数，李善兰在翻译《代数学》时的中译词，“函”与“含”通用，有“包含”之意，“凡式中含天，为天之函数。”现代函数有三种定义，即变量说、对应说和映射说。变量说指的是“设x与y是两个变量，当变量x在实数的某一范围中变化时，变量y按照一定的规律随x的变化而变化，我们称x为自变量，y称为因变量，变量y叫作变量x的函数，记作y=f。”对应说的定义是“设A与B是两个集合，如果按照某一确定的对应关系，对于集合A中每一确定的元素x，总有集合B中唯一确定的元素y和它对应，那么这个对应关系就叫作一个映射。当A，B为数集时，称之为函数。”[2]从中我们可以看出变量说的核心词：自变量和因变量；对应说的核心词：一一对应。

范坚强把茶杯盖摔在地上，对绑在柱头上的一杭说：“我再问你一次，东西在哪里？”一杭一脸胜利者的表情，“我说过，没有，记事本是我编出来骗你的。”

函数思想，指用函数的定义和性质去分析、转化问题，最终解决问题的一种思维策略。函数描述数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系模型，体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题。

小学阶段函数学习是以比例学习为标志，正比例就是一次函数的y=kx+b中b=0的特例，受小学生数系认识的影响，小学阶段k取值范围是k>0。图形的放大与缩小：放大是k>1，缩小则是k<1。反比例则是反比例函数，小学阶段k取值范围是k>0。在学习比例之前，则在数与代数领域渗透“一一对应”思想、变量思想；在图形与几何中渗透对应思想，并用函数表达式表示图形的周长、面积等；在统计表和统计图中以表格、图像来表示函数，只是以统计表、统计图来命名。以上领域都不出现函数的名称。总之，小学阶段数学中的函数既有显性的函数表达形式，也有隐性的函数思想，最突出的表现就是对应、变与不变，并从一年级通达六年级，贯穿整个小学数学。

教材渗透函数思想，遵循儿童认识规律由简单到复杂、由分散到集中、由隐性到显性的原则，并螺旋上升，促进学生数学学习的发展。下面从两个方面解读教材的安排：

在地铁建筑施工的过程中，虽然很多的城市都使用了计算机信息化系统的最新要求，但是我国的项目技术水平与一些发达国家相比还是比较落后。与中高端的信息化管理系统相比，我国的信息化监测平台和远程系统的构成非常简单，人工智能化和大数据分析方面比较落后。为了有效的解决这一问题的发生，相关建筑企业应该不断的完善我国信息化和互联网时代下的信息化管理系统的技术水平，提高我国信息化管理系统的技术。

下面根据教材编写三个领域，就函数思想在教材中的分布做一个简单的梳理：数与代数领域：数的认识；整数、小数和分数四则运算中的和、差、积、商的变化规律；比例；解决实际问题；探索规律；图形与几何领域：图形的周长、面积、体积计算；统计与概率领域：统计表和统计图。由此可知：函数最先是以对应思想隐藏于数学知识背后，不变量与变量思想从始至终贯穿教材；函数的表现方式最初是表格、图像，接着是数量关系式、公式，类似于解析式出现在正反比例中，图像只给出了第一象限的描点连线图；函数定义虽不出现，但教材以具体实例来描述，蕴含函数两种界定，“相关联的量”即是“变量说”，而“路程和相对应时间的比”即为“对应说”。教材例题的材料选用了函数表现形式中的表格，易于理解。

“图形放大与缩小”在函数中的位置解读。“图形的放大与缩小”是比例的第一课，比例就是函数。图形的放大与缩小是正比例，是一次函数的y=kx+b中b=0的特例。放大则是k>1，缩小则是0

两种不同版本教材对比解读。图形的放大与缩小都是新课改后进入教材的，人教版和苏教版在比例中都安排了此内容，但两者有明显的区别，具体编排特点如表1所示。

银行贷款方面，虽然目前我国很多银行都有了自己的小额信贷部门，但从小微企业通过银行贷款融资的过程和结果看，依然很受“歧视”。原因包括：

表1 苏教版和人教版“图形的放大与缩小”教材比较

教材版本编排位置编排特点与目的在教材中的位置苏教版比例例1、例2,在第1课时图形的放大与缩小设计了两个例题,例1选择的素材是一组长方形,通过观察放大前后的对应长与宽的比例不变,完成放大概念的建构后,通过设问学习缩小。例2通过画按一定比例放大或缩小图活动,观察比较变化前后间的关系。两个例题都选择长方形,例1建构概念,例2是技能训练。三角形出现在练习中,比较中仅指向对应边的比统领整个单元。比例的意义、比例的性质、解比例、比例尺的材料选择都是图形的放大或缩小,6个例题中有5个是长方形,1个是三角形人教版比例应用例4,在第3课时教材选择了正方形、长方形和直角三角形,按一定的比例放大,观察放大后图形的内角、边长、周长什么变了、什么没变。再把三个图形按一定的比例缩小,并画出缩小后的图形,再比较、交流发现。一个例题选择三种图形,利于学生观察、比较,不但比较对应边,还要比较对应内角、周长,比较内容丰富,突出相似形的本质比例应用的一个内容。是在学习了比例意义、性质、正反比例之后,作为比例应用的一个部分安排在比例尺之后

苏教版将“图形的放大与缩小”放在单元的第一课，显然把它放在特别重要的位置，即统领整个单元学习，是函数根的学习，因此要在感悟函数思想的本质上着力，要更加凸显对应、变与不变这些本质。人教版在比较中突出本质、重应用。

儿童的学习是以儿童经历过的体验来认知新的对象，并以儿童所熟悉的话语体系来表征。函数学习也要基于儿童的经验，并不断丰富学生的认知结构。如数字1的认识，则是在一个苹果、一个杯子、一棵树等儿童熟悉的物、事基础上，与数学上的符号实现一一对应，最终由经验走向数学。学习“图形的放大与缩小”，研究按放大后的长方形长、宽对应边的关系时，学生能调用倍、分率、比等来比较、表征。

儿童认知特点决定着学习的方式。实物、模型、图片、动画都是为了丰富儿童视觉、触觉、听觉，在多种感官参与下，对认知对象多种表征后，形成丰富的表象；在需要时，经验过的直观形象就成为知识所依附的原形被学生从脑中提取出来，进行更高级的认识活动。函数最初的学习是以一一对应隐藏于知识之中，后来逐步以图形、关系、公式等形式现身，经过比较、概括、抽象，形成表示一般规律的形如解析式的雏形。函数是一种模型，是高度抽象的，函数的学习走向抽象是数学的必然，所有具体只是手段，抽象建模才是目标。

儿童思维是点状的、碎片化的。六年级的学生比较放大前后两个长方形，常常只聚焦到长方形的边上，却极少聚焦到这两个都是长方形，它们的角都是直角。当然，在学习图形的放大与缩小时，我们为什么一开始要选择长方形？在学习面积、周长时，也为什么要学习长方形呢？这就是特殊，特殊的具有可操作性、易学性，在学生操作学具观察、比较时才便于归纳、概括。特殊的解决了则向一般进发，这样就有了三角形、平行四边形、梯形的学习。长方形、正方形的放大缩小学习后，才有了直角三角形、一般三角形、梯形、圆、平行四边形、多边形的放大与缩小的学习。儿童思维的点状、非连续性体现在知识学习上即是特殊，要引导儿童成长，由特殊走向一般，学习都是如此。

结构化学习，就是把学习内容当作一个整体、一个系统来对待，是基于学生认知现状和尊重学生认知规律的学习。教学时，如果我们循着数学的本源走，抓住本质，就可能易于理解学习的知识，并从中汲取营养。函数的本质就是作为相互依存关系的量之间的对应变化关系。如何让学生能够感受、体会到这种关系？下面就谈谈“图形的放大与缩小”这一课的学习策略。

对应在生活中表现为物与物的对应，也有物与事的对应。数学上的对应，是客观存在与数学上的存在之间的连接，可能是一对一，也可能一对多。函数中的对应，体现的是一对一，即集合A与集合B中各元素之间的一一对应关系。人对生活现象中的对应很容易对号入座，数学中的对应是抽象的，所以教学中要通过丰富的资源让学生多感受，在多种感官参与、适度刺激下，使对应思想依附于动作，并在清晰的语言表征基础上深刻体会对应的内涵。

理解“对应边”是本课教学难点，仅有一个长方形的放大就能得到对应？长方形虽然有四条对应边，其实质只有两组对应边。把正方形按一定比例放大，其实质只是一组对应边。所以选择了三角形——直角三角形，三条边都是整数。学生通过画、量，发现“原来三角形的底扩大了2倍，高扩大了2倍，斜边也扩大了2倍。”通过交流，最终发现“三角形每一条边都扩大了2倍。”“每一条边”这是学生的话语体系，所以要归结到数学的话语体系。“是哪一条？”或“哪条边和哪条边呢？”对应就出来了。“对应边的比都相等”水到渠成，接下来则是用概念了。丰富感性经验后，概括顺利，形成的观念才会牢固。感受对应是建立在丰富的视界活动后的聚焦，是在动手操作活动后的思量，是在生生互动交流中的碰撞。

从具体的数量变化走向抽象概括的符号表征，跨越思维断层，走向理性与深刻。

新技术应用是数字出版产品形式创新的重要驱动力。一是体验场景技术应用受到重视。2017年，重庆天健互联网出版公司启动了AR在数字出版领域应用标准的研究，2018年初，以大数据智能化为引领的创新驱动发展战略明确在数字内容推进AR、VR、MR、全息成像、裸眼三维图形显示产品的开发，会加快这些技术在数字出版领域的应用。随着应用场景的不断拓展，数据库不断丰富和完善，AR、VR、MR等技术的应用成本会不断下降，为更为7广泛应用创造了条件，加之政府政策推动，2018年，基于数字出版内容场景创新的新技术应用会更新丰富。

Lumion，中文名称流明，是实时的3D可视化工具，没有建模功能，该软件开发年限较短，但因其优势明显，迅速被园林规划设计、建筑设计等行业广为利用，主要优势是：渲染和场景创建时间极短，可节省大量时间和精力，拥有丰富的3D材质和模型，支持高分辨率视频和图像输出，可视化效果逼真，是对Google SketchUp软件的良好补充。

函数是研究两种量之间的变化依存关系，其实在一年级的教材中就已渗透。如“20以内退位减法”中的练习“18-9=□，16-9=□，14-9=□，12-9=□”这组题，教学中，我们常常将它简单地视为单纯的计算，而有经验的教师则引导孩子观察变化规律，为后续的学习积累经验。

如果说低、中年级体验变与不变是为了积累学习数学的经验，到了比例的学习，体验则更应接近函数的本质。“图形的放大与缩小”教材例题与练习中提供的素材仅限于长方形、正方形、直角三角形，圆、梯形安排在后面的学习中，教材这样安排有它的合理性，即集中与分散、循序渐进、螺旋上升。但作为一节种子课、起始课，我们能否把面铺得广一些、触角多一些？体验机会丰富一些？使起始课就像种一棵树一样，让这棵树的根系更发达些，根扎得更深一些，长得远一些，而不是让这棵树早早地结出果实。在课的引入时，把一张照片变大，在比较变化后的图哪张看得舒服后，说出每张图变化的特点，初步体会不变与变。在确定研究对象后，比较放大前后的两幅照片时，学生观察、比较要舍得花时间，因为交流充分，所以就有了这些丰富的发现：放大后的图形对应边的比是2∶1，对应周长的比是2∶1，对应面积比是4∶1。在比较几幅图中相应的每组中的两个图，学生有了这样的发现，按2∶1放大，则所有对应边的比都是2∶1。在比较图形放大与缩小的过程中，学生发现不管是放大还是缩小，各边之间的比是不变的，图形的形状是不变的。在练习的比较中，更有新的发现，放大与缩小与图形的位置是没有关系的，对应的角度也是不变的。

文体即文章的体裁，是指文章作品在结构形式和语言表达上所呈现的具体样式或类别。它是人们对文章作品内在规律、特质的一种认识和总结。文体相对于语言、文字、篇章，是更高级的一种语文形式，它归约了用怎样的语言、怎么的文字、怎么的段落、怎样的篇章去表达。

结构前延后续，由表及里，遵循数学内在的逻辑，内容表达与形式统一于本质，从旧结构生长新结构。

关联旧结构，生成新知。已有的认识结构是学生最近发展区，“放大”指的是“对应边长按一定的比扩大”。放大前的边长与放大后的对应边长之间的相除关系则是学生原有认知结构，这是倍比关系。学生先用旧结构表达放大前后对应边的关系，再聚焦到“现在长方形的长和宽与原来长方形的长和宽的比分别是2∶1”。然后教师给出：像这样，我们就说“长方形按2∶1放大”。概括新知，并交流“这个长方形还可以按什么比放大”，巩固新结构。

关联内结构，融通经络。如何从放大走向缩小，使之成为一个整体？1∶1是沟通放大与缩小的桥梁，融通了放大与缩小之间的经络，使图形的放大与缩小浑然一体。在总结放大学习活动后提出了把长方形按1∶1放大，说出放大后图形的样子。学生都说图形没有变。追问后，接着提出把图形按1∶2放大，这个图是什么样子呢？图形缩小学习水到渠成，实现了放大与缩小自然过渡，学习自然而然发生。融通了就能贯通，知识脉络就清晰了。

关联元素，生长新结构。图形的放大与缩小属于正比例；放大前后的两个图是相似形；一条边变了，另一条边也随之变化，这是函数。正比例，相关联的量具有“”，放大或缩小前后对应边的比值是一定的；相似形，要关注相似形的若干性质；函数，强调的是自变量与变量之间的关系或是集合元素之间的对应关系。可见，图形放大与缩小是与位置的变换没有关系的！小学教材没涉及，能否向前走一点？教学课本练习六第1题将图3旋转90°，结果学生很容易判断。函数的表达有三种：解析式、表格和图像。前两种方式均不能在这节函数种子课中出现，图像可以吗？如何让学生感受到一次函数的图像就是一条直线呢？在课的总结阶段，把两个长方形两边重合在一起，连接一条对角线，说一说对应的对角线之间的关系，对角线延长3倍、4倍，连接到两轴得到新的长方形，让学生说一说想到了什么，使图像表达悄然渗透其中。迈出一小步，触角上就会长出新结构。

“居高声自远，非是藉秋风。”学习的立意高一些，土壤肥沃些，学生后天的发展才会厚积薄发。突显了函数本质，在多重往复、不断循环提高的活动中，变量、对应嵌入一个个具体的数学活动，在不知不觉中体会数学的精髓，这不正是核心素养的追求吗？

[参 考 文 献]

[1] 张景中.感受小学数学思想的力量：写给小学数学老师们[J].人民教育，2007：32.

[2] 张奠宙，孔凡哲.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2013：113-115.